等式（Identity）是数学中的一个基本概念，指无论其变量怎样取值，等式两边的表达式始终相等的算式。下面内容从定义、特征、分类及示例四方面详细说明：
1. 定义与核心特征
定义：恒等式是左右两边表达式在定义域公共部分内，对变量任意取值均成立的等式。
符号表示：常用“≡”强调恒等性（如 (a^2
b^2 equiv (a+b)(a-b))），区别于普通等号“=”。
关键特征：
变量无关性：无论变量取何值（在定义域内），等式恒成立。例如，( (x+1)(x+4) equiv x^2 + 5x + 4)，无论 (x) 取何值，两边结局相同。
定义域限制：恒等关系仅在表达式定义域的公共部分有效。例如，(sqrtx^2} equiv x) 仅在 (x geq 0) 时成立。
2. 与普通等式的区别
特性 | 恒等式 | 普通等式 |
成立条件 | 变量任意取值均成立 | 仅对特定解成立（如方程） |
符号 | 常用 ≡ | 用 = |
定义域要求 | 需在公共定义域内成立 | 可能仅在部分点成立 |
用途 | 描述普遍规律（如公式、定理） | 求解未知量（如方程） |
示例：
恒等式：( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 )（所有实数 (a, b) 均成立）。
普通等式：( x + 2 = 5 )（仅当 (x=3) 时成立）。
3. 常见类型与著名恒等式
（1）代数恒等式
及多项式运算，是基础代数工具：
平方差公式：( a^2
b^2 = (a+b)(a-b) )
立方和公式：( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2
ab + b^2) )
（2）几何恒等式
述几何图形的度量关系：
平行四边形恒等式：对边平方和等于对角线平方和，即 ( AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2 )（图1）。
推广：在向量空间中，( | mathbfx} + mathbfy} |^2 + | mathbfx}
mathbfy} |^2 = 2(| mathbfx} |^2 + | mathbfy} |^2) ) 。
（3）三角恒等式
于三角函数周期性：
基本关系：( sin^2
eta + cos^2
heta equiv 1 ) 。
（4）著名恒等式
欧拉恒等式：( e^ipi} + 1 = 0 )（联系天然对数底 (e)、虚数单位 (i) 和圆周率 (pi)）。
牛顿恒等式：描述多项式根与系数关系。
组合恒等式：如范德蒙恒等式 ( binomn+m}k} = sum_i binomn}i} binomm}k-i} ) 。
4. 应用与意义
简化运算：如因式分解、多项式展开（例：快速计算 ((5-2a)^2 = 25
20a + 4a^2)）。
证明工具：在几何、数论中用于推导重点拎出来说（如欧拉定理 ( a^phi(n)} equiv 1 pmodn} )）。
跨学科桥梁：如欧拉恒等式连接复数、指数与几何，向量恒等式优化物理难题计算。
拓展资料
等式是揭示数学内在规律的基石，其核心在于变量无关的永恒成立性（符号 ≡），并广泛用于代数、几何、数论等领域。领会恒等式需注意定义域限制，并区分其与条件等式（方程）的本质差异。
